شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | فضای سه بعدی](https://dl2.my-dars.com/upload/image/011744030091.jpg)
منظور از فضای \({R^3}\) ، مجموعه تمام سه تایی های مرتبی مانند \(\left( {x,y,z} \right)\) است که در آنها x، y و z اعداد حقیقی باشند، به عبارت دیگر:
\({R^3} = \left\{ {\left( {x,y,z} \right)|x,y,z \in \mathbb{R}} \right\}\)
دستگاه قائم مختصات یا محور های مختصات دکارتی در فضا را به صورت \(O\left( {x,y,z} \right)\) نشان می دهند.
به طور کلی مختصات هر نقطه مانند P را در فضای \({R^3}\) به صورت \(P\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) مشخص می کنند که در آن \({x_0}\) طول نقطه P، \({y_0}\) عرض نقطه P و \({z_0}\) ارتفاع نقطه P نامیده می شود.
مثال
مختصات نقطه \(A\left( {1,2,3} \right)\) را در فضا مشخص کنید.
اگر \(P\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) و \(Q\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right)\) دو نقطه در فضا باشند، طول پاره خط PQ را با علامت \(\left| {PQ} \right|\) نشان داده و از رابطه زیر بدست می آوریم:
\(\left| {PQ} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_0} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_0} - {y_1}} \right)}^2} + {{\left( {{z_0} - {z_1}} \right)}^2}} \)
مثال
اگر \(A\left( {2, - 3,1} \right)\) و \(B\left( {4,2,0} \right)\) دو نقطه در فضای \({R^3}\) باشد، طول AB را بیابید.
\(\begin{array}{l}\left| {AB} \right| = \sqrt {{{\left( {2 - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 3 - 3} \right)}^2} + {{\left( {1 - 0} \right)}^2}} \\\\ \Rightarrow \left| {AB} \right| = \sqrt {30} \end{array}\)
\(\left| {PQ} \right| = 0\) اگر و تنها اگر \(P = Q\)
\(\left| {PQ} \right| = \left| {QP} \right|\)
\(\left| {PQ} \right| \le \left| {PR} \right| + \left| {RQ} \right|\)
اگر \(A\left( {a,1, - 1} \right)\) و \(B\left( {2,a - 1,2a} \right)\) دو نقطه در فضا باشند، به ازای کدام مقادیر a، طول پاره خط AB برابر \(\sqrt {11} \) می باشد؟
\(\begin{array}{l}\left| {AB} \right| = \sqrt {{{\left( {a - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 - a - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 2a} \right)}^2}} \\\\\sqrt {{{\left( {a - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 - a - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 2a} \right)}^2}} = \sqrt {11} \\\\ \Rightarrow 6{a^2} - 4a - 2 = 0\\\\ \Rightarrow a = 1\;\;,\;\;a = - \frac{1}{3}\end{array}\)
تهیه کننده: امیرحسین مطلبی
1736019749.png)
